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已知函数f(x)=(x2﹣2x)sin(x﹣1)+x+1在[﹣1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=( )


A.4
B.2
C.1
D.0

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解:∵f(x)=(x2﹣2x)sin(x﹣1)+x+1=[(x﹣1)2﹣1]sin(x﹣1)+x﹣1+2 令g(x)=(x﹣1)2sin(x﹣1)﹣sin(x﹣1)+(x﹣1),而g(2﹣x)=(x﹣1)2sin(1﹣x)﹣sin(1﹣x)+(1﹣x),∴g(2﹣x)+g(x)=0,则g(x)关于(1,0)中心对称,则f(x)在[﹣1,3]上关于(1,2)中心对称.∴M+m=4.故选:A.【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值即可以解答此题.

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