若过点A(2,m)可作函数f(x)=x³﹣3x对应曲线的三条切线,则实数m的取值范围( )

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设切点为（a，a3﹣3a），∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3，∴切线的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），∵切线过点A（2，m），∴m﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（2﹣a），即2a3﹣6a2=﹣6﹣m，∵过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，令g（x）=2x3﹣6x2∴g′（x）=6x2﹣12x=0，解得x=0或x=2，当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极小值g
（2）=﹣8，关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=﹣6﹣m的图象有三个不同的交点，∴﹣8＜﹣6﹣m＜0，∴﹣6＜m＜2，∴实数m的取值范围为（﹣6，2）．故选：C．设切点为（a，a3﹣3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a3﹣6a2=﹣6﹣m，令g（x）=2x3﹣6x2 ， 利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=﹣6﹣m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围。

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