宇宙飞船运动中需要多次“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小和方向,使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行“轨道维持”,由于飞船受轨道上稀薄空气的影响,轨道高度会逐渐降低,在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能的变化情况将会是

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第五章 《机械能及其守恒定律》单元复习
一、知识回顾
1 功的计算
恒力做功
变力做功
重力做功
摩擦阻力或介质阻力做功
总功
2 功率
平均功率
瞬时功率
分析机车的速度、牵引力和发动机功率的问题：
恒力启动：

恒功率启动

画出恒力启动和恒功率启动两种模型机车的速度图象

3 动能定理
表述

公式
用途
4 机械能守恒定律
表述

判断机械能是否守恒的方法：
表达式一
表达式二
用途
5 功能原理
表述：除了重力、弹力以外的力做的功等于机械能的增量
表达式：
用途：

本章中的功、动能的计算是选 为参考系

二、典型例题
1．如图所示，静止在水平桌面的纸带上有一质量为0. 1kg的小铁块，它离纸带的右端距离为0. 5 m，铁块与纸带间动摩擦因数为0.1．现用力向左以2 m/s2的加速度将纸带从铁块下抽出，求：（不计铁块大小，铁块不滚动）
(1)将纸带从铁块下抽出需要多长时间？
(2)纸带对铁块做多少功？

2 一种氢气燃料的汽车，质量为=2.0×103kg，发动机的额定输出功率为80kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍。若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为=1.0m/s2。达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了800m，直到获得最大速度后才匀速行驶。试求：
（1）汽车的最大行驶速度；
（2）汽车匀加速启动阶段结束时的速度；
（3）当速度为5m/s时，汽车牵引力的瞬时功率；
（4）当汽车的速度为32m/s时的加速度；
（5）汽车从静止到获得最大行驶速度所用的总时间。

3．杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹 竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s2.
求：(1)杆上的人下滑过程中的最大速度；
(2)竹竿的长度．

4 如图所示，斜面倾角为 ，质量为m的滑块距挡板P为s，以初速度v沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面的分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的路程有多大？

5 如图中两物体质量分别为m和2m，滑轮的质量和摩擦都不计，开始时用手托住2m的物体，释放后，当2m的物体从静止开始下降h后的速度是多少?
三、强化训练
6 一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度为2 m/s，则下列说法正确的是
A. 手对物体做功12J B. 合外力对物体做功12J
C. 合外力对物体做功2J D. 物体克服重力做功10 J
7 在下列情况下机械能不守恒的有：
A．在空气中匀速下落的降落伞 B．物体沿光滑圆弧面下滑
C．在空中做斜抛运动的铅球（不计空气阻力） D．沿斜面匀速下滑的物体
8 航天员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态向下摆，到达竖直状 态的过程如图所示，航天员所受重力的瞬时功率变化情况是
A．一直增大
B。一直减小
C．先增大后减小
D。先减小后增大

9 如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的
大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则
转动一 周这个力F做的总功应为：
A、 0J B、20πJ
C 、10J D、20J.

10 关于力对物体做功以及产生的效果，下列说法正确的是
A.滑动摩擦力对物体一定做正功
B.静摩擦力对物体一定不做功
C.物体克服某个力做功时，这个力对物体来说是动力
D.某个力对物体做正功时，这个力对物体来说是动力
11 物体沿直线运动的v-t关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则
（A）从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W。
（B）从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W。
（C）从第5秒末到第7秒末合外力做功为W。
（D）从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W。

12 如图，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动。在移动过程中，下列说法正确的是
A.F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力 所做的功之和
B.F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
D.F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和

13 如下图甲所示，质量为m的物块与倾角为的斜面体相对静止，当斜面体沿水平面向左匀速运动位移时，求物块所受重力、支持力、摩擦力做的功和合力做的功。
14 有一物体，在A点时的重力势能为500J，从A点自由下落，到地时速度是10m/s（g=10m/s）。求：（1）A点离地的高度；
（2）从A点下落到地面这段时间内重力做功的功率。
15一辆汽车的质量是5×103 kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如果汽车从静止开始以0. 5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？
下面是甲、乙两位同学的解法：
甲同学：
W=Pt=6×104×22.36 J =1. 34×106 J.
乙同学：F=ma＋f=7500 N.
W=Fs=7 500×125 J =9. 375×105 J.
请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法．
16 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
17 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦，若A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了．求物块B上升的最大高度H．
18.一个质量为m=0. 20 kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光竖直的圆环上，弹簧固定于环的最高点A，环的半径R=0. 50 m,弹簧原长L0 = 0. 50 m，劲度系数为4.8 N/m，如图所示，若小球从图示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能=0. 60J；求：
(1)小球到C点时的速度vC的大小．
(2)小球在C点时对环的作用力（g=10 m/S2).
答案：
1 解：(1)设纸带的加速度为a1，铁块的加速度为a2．则
，得t=1s。
(2)

2 40m/s 20m/s 2×104W 0.25m/s2 55s
3 解：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力mg和杆对人的作用力F1，由题图可知，人加速下滑过程中杆对人的作用力F1为180 N．由牛顿第二定律得
mg一F1 =ma，则a=4 m/s2.
1s末人的速度达到最大，则v= at1=4 m/s.
(2）加速下降时位移为：=2 m.
减速下降时，由动能定理得
代入数据解得.

4解析：由于滑块重力沿斜面向下的分力大于滑块所受摩擦力，所以可断定滑块最终将停靠在挡板处．从以v向上滑动至最终停下，设滑块经过的路程为l，则重力做正功，摩擦力做负功．
解法一：此过程重力对滑块做功WG＝mgssin ，
摩擦力做功Wf＝- mglcos
对滑块由动能定理，有：
mgssin - mglcos ＝0-mv2
解得l＝
解法二：由能量转化与守恒求解，此过程滑块机械能的减少ΔE1＝mgssin ＋mv2，克服摩擦力做功转化的内能ΔE2＝ mgcos ·l，由能量守恒定律有ΔE1＝ΔE2
即mgssin ＋mv2＝ mglcos
同样可解出l．
答案：
5．解析：细绳的拉力分别对物m和物2m做正功和负功，所以物m和物2m各自的机械能都不守恒，但物m和物2m构成的系统机械能守恒，故以系统为研究对象．
此过程中系统减少的势能为
2mgh-mgh＝mgh
系统增加的动能为(3m)v2
根据机械能守恒定律，有
mgh＝(3m)v2，v＝
答案：
6 ACD 7 AD 8 C 9 B 10 D 11 CD 12 CD
13分析与解答：
物块受重力，如上图乙所示，物块随斜面体匀速运动，所受合力为零，所以，。
物块位移为
支持力的夹角为，
支持力做功。
静摩擦力的夹角为做的功.
合力是各个力做功的代数和

14（1）5m （2）500W
15解：甲、乙两位同学的解法都不正确．
甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．
而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．
正确的解法是：汽车行驶的最大速度为
根据动能定理得，
。
16 错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功。
分析纠错：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为VA和VB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：
2mgL=
又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB＝2VA
由以上二式得：.
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于A有
WA+mgL/2= -O，
所以WA=－mgL.
对于B有WB+mgL=，所以WB=0.2mgL.

17．解析：由A、B和地球组成的系统，在A、B运动过程中，只有A、B的重力做功，系统机械能守恒．
ΔEP＝ΔEk
即：4mg·-mg·s＝mv2＋×4mv2 ①
细线突然断的瞬间，物块B竖直上升的速度为v，此后B做竖直上抛运动，设继续上升的距离为h，由机械能守恒得
mv2＝mgh ②
物块B上升的最大高度H＝h＋s ③
由①②③解得H＝1.2 s
答案：1.2 s
18解：小球由B点滑到C点，弹簧和小球机械能守恒有

得vC=3 m/s.
(2）在C点时有,
设环对小球作用力为N，方向指向圆心，则
.
小球对环作用力为, .
10.（10分）一列火车质量是1 000t，由静止开始以额定功率沿平直轨道向某一方向运动，经1min前进900m时达到最大速度。设火车所受阻力恒定为车重的0.05倍，g取10m/s2，求：
(1) 火车行驶的最大速度；
(2) 火车的额定功率；
(3) 当火车的速度为10m/s时火车的加速度。

10. (1) 根据动能定理 ，
又 P=Fvm=Ffvm=kmgvm，
联列以上两式可得  ，
代入数据得  vm2－60vm+900=0， 
解得火车行驶的最大速度  vm=30m/s。
(2) 火车的额定功率
   P=kmgvm=0.05×1 000×103×10×30W=1.5×107W。
(3) 由 ，
解得当火车的速度为10m/s时火车的加速度
   m/s2m/s2=1 m/s2。

18、如图16所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B
球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2
据圆周运动的知识可知：VA=2VB
由上述二式可求得VA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图17所示），则据机械能守恒定律可得：
mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0
易求得θ=sin-1 。

19、如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数=0.2,B与地面间的距离h=0.8m,A、B原来静止，（A、B长度不计）求：
B落到地面时的速度为多大；
B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。（g取10m/s2）
19、（1）0.8m/s （2）0.16m

《万有引力与航天》单元复习
知识回顾
一、行星运动的三大定律
轨道定律
面积定律
周期定律
二、万有引力定律及其应用
1 万有引力定律

2 应用
（1）求重力加速度

重力与万有引力的关系
考虑地球自转时：
在高空的物体：
（2）估算天体的质量

天体密度
（3）求环绕天体的V、、T
3 宇宙速度和人造卫星
(1) 第一宇宙速度是指：
求V1的方法：
第二宇宙速度是指：

第三宇宙速度是指：

(2) 卫星轨道的特点
人造卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心落在 上。
同步卫星的特点：
定周期
定高度
定轨道
卫星的变轨分析：抓住万有引力与向心力的大小关系去分析
典型例题
1 一颗质量为m的人造卫星，在距地面高度为h的圆轨道上运动，已知地球的质量为M，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）卫星绕地球运动的向心加速度；
（2）卫星绕地球运动的周期；
（3）卫星绕地球运动的动能。

2 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g，行星的质量为M与卫星的质量m之比＝81，行星的半径R与卫星的半径R之比＝3．6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R之比＝60，设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有：G＝m g ．．．．．．经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的．上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果．
3 宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间T小球落到星球表面，测得抛出点与落地点间的距离为L．若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点间距离为，已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R，万有引力常数为C，求该星球的质量．
4 宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当给小球水平初速度v0时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G.若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
5、设想有一宇航员在某未知星球的极地地区着陆时发现，同一物体在该地区的重力是地球上的重力的0.01倍．还发现由于星球的自转，物体在该星球赤道上恰好完全失重，且该星球上一昼夜的时间与地球上相同。则这未知星球的半径是多少？（取地球上的重力加速度 g＝9.8 m／s2，π2＝9.8，结果保留两位有效数字）
强化训练
1．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是（ ）
A、地球同步卫星只是依靠惯性运动；
B．质量不同的地球同步卫星轨道高度不同
C．质量不同的地球同步卫星线速度不同
D．所有地球同步卫星的加速度大小相同
2．对人造地球卫星，下列说法正确的是（ ）
A．由v=rω，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，速度增大到原来的2倍；
B．由，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，速度增大到原来倍
C、由，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，向心力减为原来的
D．由，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，向心力减为原来的
3.关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是（ ）
它是人造卫星绕地球飞行的最小速度；
它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度；
它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度；
D．它又叫环绕速度，即绕地球做圆轨道运行的卫星的速度都是第一宇宙速度。
4 两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：
A、RA：RB=4：1；VA：VB=1：2。B、RA：RB=4：1；VA：VB=2：1
C、RA：RB=1：4；VA：VB=1：2。D、RA：RB=1：4；VA：VB=2：1
5 宇宙飞船在近地轨道绕地球作圆周运动，说法正确的有：
A.宇宙飞船运行的速度不变，速率仅由轨道半径确定
B.放在飞船地板上的物体对地板的压力为零
C.在飞船里面不能用弹簧秤测量拉力
D.在飞船里面不能用天平测量质量
6 科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说它是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”，由此根据以上信息可以推测
A.这颗行星的公转周期与地球相等 B. 这颗行星的自转周期与地球相等
C. 这颗行星的质量等于地球的质量 D. 这颗行星的密度等于地球的密度
7 据国际小行星中心通报：中科院紫金山天文台1981年10月23日发现的国际永久编号为4073号的小行星已荣获国际小行星中心和国际小行星中心命名委员会批准，正式命名为“瑞安中学星”。这在我国中等学校之中尚属首次。 “瑞安中学星”沿着一个近似圆形的轨道围绕太阳运行，轨道半径长约为3.2天文单位（一个天文单位为日地间的平均距离，）则“瑞安中学星”绕太阳运行一周大约需多少年
A 1年 B 3.2年 C 5.7年 D 6.4年

8 气象卫星是用来拍摄云层照片、观测气象资料和测量气象数据的.我国先后自行成功研制和发射了“风云”一号和“风云”二号两颗气象卫星,“风云”一号卫星轨道与赤道平面垂直并且通过两极,每12h巡视地球一周,称为“极地圆轨道”.“风云二号”气象卫星轨道平面在赤道平面内称为“地球同步轨道”,则“风云一号”卫星比“风云二号”卫星
A.角速度小 B.线速度大 C.覆盖地面区域小 D.向心加速度大

9 如图2所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道l，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道l上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
10 “神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是
A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小
B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变
D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
11 现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图7－12所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：
(1) 双星旋转的中心O到m1的距离；
(2) 双星的转动周期。
12设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

13 已知万有引力常量G，地球半径R，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g . 某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由得：
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果.
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
14 已知月球半径约为1800km ，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的(g取10m/s2).
(1)求物体在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度大小（保留二位有效数字）.
(2)天文学研究表明，月球在阳光的照射下表面温度可达127℃，在这个温度下，水蒸气分子的平均速率为2.0×103m/s，根据(1)的计算结果简要说明月球表面是否存在水．
15 2005年10月17日，神舟六号载人飞船，在经历115小时32分的太空飞行后顺利返回。已知地球半径为R，地球表面附近重力加速度为g。
（1）飞船在竖直发射升空的加速过程中，宇航员处于超重状态。设点火后不久仪器显示宇航员对座舱的压力等于他体重的5倍，求此时飞船的加速度。
（2）设飞船变轨后沿圆形轨道环绕地球运行，运行周期为T，求飞船离地面的高度。
16 1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲信号。贝尔和她的导师曾认为他们和外星文明接上了头。后来大家认识到事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”。“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定。这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。
(1) 已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331s。PS0531的脉冲现象来自自转。设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度。
(2) 如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少？（太阳质量是M=1030kg）
答案：
例题1
（1）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力····①
所以卫星的加速度·······························②
（2）由于·····························③
故由②③得卫星的周期····················④
（3）由于····································⑤
由①⑤得卫星的动能EK=·················⑥

2 解析：所得结果是错误的．
G＝m g中的g并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度．正确解法是：
卫星表面 G＝g， 行星表面 G＝g，
()＝， 即g＝0．16g．
3 解析 设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x ，则有：
x＋h＝L
由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x．
∴ (2x)＋h＝(L)
由以上两式解得
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
联立上述各式解得：
．

4 设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.
∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有…………2分
从最低点至最高低点有 …… 2分
由①②可得 2分
∵在月球表面发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度
∴ 3分
5、设该星球表面的重力加速度为 g 。该星球半径为 r
由向心力公式得 ① （8分）
而 ② （2分）
由①、②得 ③ （6分）

练习
1D 2 C 3 B 4 D 5 BD 6 A 7 C 8 BD 9 BD 10 D
11解析 设双星旋转的中心O到m1的距离为x，由F引=F向知
   G，G。
联立以上两式求解得：
双星旋转的中心到m1的距离为x=。
双星的转动周期为  T=2πL。

12证明：由G= mr(2π/T)2得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

13解：（1）上面的结果是错误的．地球的半径在计算过程中不能忽略．
正确的解法和结果是：
得：
（2）方法一：对月球绕地球做圆周运动有：
得：
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力：
得：

14 (1)物体在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动：
①
得v＝ ②
＝＝1.7×m/ s ③
④⑤⑥①②③④⑤⑥
(2)由于：v＝1.7×m/s<2.0×m/s ④
月球表面的水蒸气分子将脱离月球表面，所以月球表面不存在水。
评分标准：本题16分．(1)问12分，①、②、③式各4分；(2)问4分，④式2分，得出月球表面没有水2分．
15 （1）由牛顿第二定律得5mg－mg=ma ①
解得a=4g，方向竖直向上 ②
（2）设地球质量为M，飞船质量为m，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
⑤
评分标准：本题共8分，其中①②③各2分，④⑤各1分
16解析 (1)  脉冲星的脉冲周期即为自转周期，脉冲星高速自转但不瓦解的临界条件是：该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力。由
 ，
又  ，
故脉冲星的最小密度为
 。
(2)  由，得脉冲星的最大半径为
。

以上为百科题库网整理的关于"宇宙飞船运动中需要多次“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小和方向,使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行“轨道维持”,由于飞船受轨道上稀薄空气的影响,轨道高度会逐渐降低,在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能的变化情况将会是"试题答案及解析，如想学习更多物理类竞赛题，欢迎访问www.baiketk.com查看搜索更多相关信息。

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